Soal Matematika: Integrasi Dasar
Diberikan fungsi berikut:
\[ f(x) = \fracx^2 + 2x + 1x^2 + x \]
Hitunglah integral dari fungsi tersebut terhadap x, yaitu:
\[ \int \fracx^2 + 2x + 1x^2 + x \, dx \]
Berikan solusi yang lengkap dan terperinci.
Pemecahan Masalah
Langkah pertama dalam menyelesaikan masalah ini adalah dengan menyederhanakan fungsi tersebut jika memungkinkan. Melihat bentuk dari fungsi tersebut, kita dapat mencoba memfaktorkan pembilang dan penyebut.
Penyebut \(x^2 + x\) dapat difaktorkan menjadi:
\[ x^2 + x = x(x + 1) \]
Sedangkan pembilang \(x^2 + 2x + 1\) dapat difaktorkan menjadi:
\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]
Dengan demikian, integral kita berubah menjadi:
\[ \int \frac(x + 1)^2x(x + 1) \, dx \]
Langkah berikutnya adalah menyederhanakan pecahan tersebut. Dengan pembilang dan penyebut yang telah difaktorkan, kita bisa memisahkan integrasi menjadi:
\[ \int \frac(x + 1)^2x(x + 1) \, dx = \int \left( \fracx + 1x \right) \, dx \]
Langkah ini diperoleh dengan membagi \((x + 1)\) dari pembilang dengan salah satu \((x + 1)\) dari penyebut.
Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi:
\[ \int \left( \fracxx + \frac1x \right) \, dx = \int \left( 1 + \frac1x \right) \, dx \]
Integral dari fungsi ini dapat dihitung dengan mudah menggunakan aturan dasar integrasi.
Langkah berikutnya adalah menghitung integral tersebut. Integral dari \(1\) terhadap \(x\) adalah:
\[ \int 1 \, dx = x \]
Sedangkan integral dari \(\frac1x\) adalah:
\[ \int \frac1x \, dx = \ln |x| \]
Maka, solusi integral kita menjadi:
\[ x + \ln |x| + C \]
Di mana \(C\) adalah konstanta integrasi.
Pemeriksaan Solusi
Untuk memastikan bahwa solusi kita benar, kita bisa memeriksa dengan mengambil turunan dari hasil integrasi. Jika kita mendapatkan kembali fungsi asli, maka solusi kita sudah tepat.
Turunan dari \(x + \ln |x|\) adalah:
1. Turunan dari \(x\) adalah \(1\).
2. Turunan dari \(\ln |x|\) adalah \(\frac1x\).
Sehingga turunan dari \(x + \ln |x|\) adalah:
\[ 1 + \frac1x \]
Ini sesuai dengan bentuk yang kita dapatkan setelah menyederhanakan integrand. Oleh karena itu, solusi kita sudah benar.
Kesimpulan
Dalam soal ini, kita berhasil menyelesaikan integral dari:
\[ \int \fracx^2 + 2x + 1x^2 + x \, dx \]
dengan terlebih dahulu menyederhanakan fungsi dan memfaktorkan pembilang dan penyebut. Setelah menyederhanakan, kita dapat memisahkan integrasi dan menghitungnya dengan aturan dasar integrasi. Hasil akhir dari integrasi tersebut adalah:
\[ x + \ln |x| + C \]
Dengan langkah-langkah yang teliti dan pemeriksaan yang dilakukan dengan mengambil turunan, kita dapat memastikan bahwa solusi yang kita peroleh adalah benar. Proses ini menunjukkan pentingnya memahami teknik dasar integrasi dan kemampuan memfaktorkan fungsi-fungsi aljabar untuk menyederhanakan masalah.
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===
