Soal
Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut:
\[
\begin{align*}
2x + 3y – z &= 7 \\
x – 2y + 4z &= -3 \\
3x + y + z &= 5 \\
\end{align*}
\]
Tentukan nilai dari \(x\), \(y\), dan \(z\).
Pembahasan
Langkah 1: Eliminasi Variabel
Langkah pertama adalah memilih salah satu variabel untuk dieliminasi dari dua persamaan. Misalkan kita ingin mengeliminasi \(z\). Kita bisa menggunakan persamaan pertama dan kedua untuk mengeliminasi \(z\).
Dari persamaan pertama:
\[
z = 2x + 3y – 7
\]
Substitusi nilai \(z\) ini ke dalam persamaan kedua:
\[
x – 2y + 4(2x + 3y – 7) = -3
\]
Langkah 2: Sederhanakan Persamaan
Kita sekarang akan menyederhanakan persamaan tersebut:
\[
x – 2y + 8x + 12y – 28 = -3
\]
Gabungkan suku-suku sejenis:
\[
9x + 10y – 28 = -3
\]
Tambah 28 ke kedua sisi untuk menyederhanakannya:
\[
9x + 10y = 25
\]
Ini adalah persamaan baru yang kita sebut sebagai Persamaan (4).
Langkah 3: Eliminasi Variabel dari Persamaan Lain
Sekarang kita akan mengeliminasi \(z\) dari persamaan pertama dan ketiga. Kita sudah memiliki nilai \(z\) dari persamaan pertama:
\[
z = 2x + 3y – 7
\]
Substitusi ke dalam persamaan ketiga:
\[
3x + y + (2x + 3y – 7) = 5
\]
Langkah 4: Sederhanakan Persamaan
Sederhanakan persamaan tersebut:
\[
3x + y + 2x + 3y – 7 = 5
\]
Gabungkan suku sejenis:
\[
5x + 4y – 7 = 5
\]
Tambahkan 7 ke kedua sisi:
\[
5x + 4y = 12
\]
Ini adalah persamaan baru yang kita sebut sebagai Persamaan (5).
Langkah 5: Sistem Persamaan Baru
Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear baru dengan dua variabel:
\[
\begin{align*}
9x + 10y &= 25 \\
5x + 4y &= 12 \\
\end{align*}
\]
Langkah 6: Eliminasi Salah Satu Variabel
Untuk menyelesaikan sistem ini, kita akan mengeliminasi salah satu variabel, misalnya \(y\). Kita dapat mengalikan Persamaan (5) dengan 5 dan Persamaan (4) dengan 4 untuk mengeliminasi \(y\).
Persamaan (4) dikali 4:
\[
36x + 40y = 100
\]
Persamaan (5) dikali 5:
\[
25x + 20y = 60
\]
Langkah 7: Kurangkan Persamaan
Kurangkan persamaan yang telah dimodifikasi untuk mengeliminasi \(y\):
\[
(36x + 40y) – (25x + 20y) = 100 – 60
\]
\[
11x + 20y – 20y = 40
\]
\[
11x = 40
\]
Sehingga, kita dapat menemukan:
\[
x = \frac{40}{11}
\]
Langkah 8: Substitusi Nilai \(x\)
Substitusi nilai \(x\) ke salah satu persamaan untuk mendapatkan \(y\). Kita gunakan Persamaan (5):
\[
5\left(\frac{40}{11}\right) + 4y = 12
\]
\[
\frac{200}{11} + 4y = 12
\]
Langkah 9: Selesaikan untuk \(y\)
Kurangkan \(\frac{200}{11}\) dari kedua sisi:
\[
4y = 12 – \frac{200}{11}
\]
Ubah 12 menjadi pecahan dengan penyebut yang sama:
\[
4y = \frac{132}{11} – \frac{200}{11}
\]
\[
4y = \frac{-68}{11}
\]
Sehingga:
\[
y = \frac{-68}{44}
\]
\[
y = \frac{-17}{11}
\]
Langkah 10: Substitusi Nilai \(x\) dan \(y\)
Substitusi \(x\) dan \(y\) ke persamaan untuk menemukan \(z\). Gunakan persamaan pertama:
\[
z = 2\left(\frac{40}{11}\right) + 3\left(\frac{-17}{11}\right) – 7
\]
Langkah 11: Selesaikan untuk \(z\)
Hitung nilai \(z\):
\[
z = \frac{80}{11} – \frac{51}{11} – \frac{77}{11}
\]
\[
z = \frac{80 – 51 – 77}{11}
\]
\[
z = \frac{-48}{11}
\]
Hasil Akhir
Jadi, nilai dari \(x\), \(y\), dan \(z\) adalah:
\[
x = \frac{40}{11}, \quad y = \frac{-17}{11}, \quad z = \frac{-48}{11}
\]
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===
