Soal Matematika
Diberikan sebuah bola dengan jari-jari r yang di dalamnya terdapat sebuah kerucut yang tepat menyinggung permukaan bola pada lingkaran alasnya. Jika tinggi kerucut adalah dua kali panjang jari-jari bola, tentukan volume kerucut tersebut.
Penyelesaian
Pertama-tama, kita harus memahami hubungan antara bola dan kerucut yang ada di dalamnya. Dalam soal ini, alas kerucut tepat menyinggung permukaan bola. Ini berarti pusat alas kerucut berada di sumbu vertikal bola dan kerucut tersebut simetris terhadap sumbu tersebut.
Kita tahu bahwa tinggi kerucut adalah dua kali jari-jari bola. Misalkan jari-jari bola adalah r. Maka, tinggi kerucut, h, adalah 2r. Selain itu, kerucut dan bola memiliki pusat yang sama pada bidang horizontal yang melalui pusat bola.
Selanjutnya, kita akan menentukan jari-jari alas kerucut. Karena alas kerucut menyinggung bola, maka jari-jari alas kerucut dapat kita anggap sebagai bagian dari segitiga siku-siku yang terbentuk dari tinggi kerucut, jari-jari alas kerucut, dan jari-jari bola.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ini, kita dapat menyatakan bahwa:
\[
(jari-jari\ alas)^2 + (jari-jari\ bola)^2 = (tinggi\ kerucut)^2
\]
Misalkan jari-jari alas kerucut adalah r_a. Maka, kita punya:
\[
r_a^2 + r^2 = (2r)^2
\]
\[
r_a^2 + r^2 = 4r^2
\]
\[
r_a^2 = 4r^2 – r^2
\]
\[
r_a^2 = 3r^2
\]
\[
r_a = \sqrt{3}r
\]
Setelah mendapatkan jari-jari alas kerucut, kita bisa menghitung volume kerucut tersebut. Rumus volume kerucut adalah:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r_a^2 h
\]
Substitusi nilai-nilai yang telah kita temukan:
\[
V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{3}r)^2 (2r)
\]
\[
V = \frac{1}{3} \pi (3r^2) (2r)
\]
\[
V = \frac{1}{3} \pi \times 3r^2 \times 2r
\]
\[
V = \frac{1}{3} \times 6 \pi r^3
\]
\[
V = 2 \pi r^3
\]
Jadi, volume kerucut tersebut adalah \(2 \pi r^3\).
Keseluruhan langkah di atas menunjukkan bagaimana kita menggunakan hubungan geometris antara bola dan kerucut untuk menyelesaikan soal ini. Memahami sifat-sifat bangun ruang dan menggunakan teorema dasar seperti teorema Pythagoras sangat penting dalam menyelesaikan masalah geometri ruang. Dengan pendekatan yang sistematis, kita dapat menyelesaikan masalah yang tampaknya kompleks dengan lebih mudah.
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===