Soal Matematika
Diberikan fungsi gabungan berikut: \( f(x) = (3x^2 + 2x) \cdot \ln(x^2 + 1) \). Tentukan turunan dari fungsi \( f(x) \) tersebut dengan menggunakan aturan rantai dan aturan hasil kali.
Langkah 1: Identifikasi Komponen Fungsi
Langkah pertama dalam menyelesaikan soal ini adalah mengidentifikasi bagian-bagian dari fungsi yang akan kita turunkan. Fungsi \( f(x) \) adalah hasil kali dari dua fungsi, yaitu \( u(x) = 3x^2 + 2x \) dan \( v(x) = \ln(x^2 + 1) \).
Langkah 2: Penerapan Aturan Hasil Kali
Untuk menemukan turunan dari \( f(x) \), kita perlu menerapkan aturan hasil kali, yang menyatakan bahwa jika \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \), maka turunan \( f'(x) \) adalah:
\[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Langkah 3: Turunkan Fungsi Pertama
Mari kita turunkan \( u(x) = 3x^2 + 2x \). Dengan menggunakan aturan dasar diferensiasi:
\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) \]
\[ u'(x) = 6x + 2 \]
Langkah 4: Turunkan Fungsi Kedua
Sekarang, kita perlu menurunkan \( v(x) = \ln(x^2 + 1) \). Untuk ini, kita akan menerapkan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa jika \( y = \ln(u) \), maka turunan \( y’ = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \).
Untuk \( v(x) = \ln(x^2 + 1) \), kita set \( u = x^2 + 1 \), sehingga:
\[ v'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \]
\[ v'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x \]
\[ v'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \]
Langkah 5: Gabungkan Hasil Turunan
Setelah menemukan turunan dari \( u(x) \) dan \( v(x) \), kita gabungkan menggunakan aturan hasil kali:
\[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Substitusi hasil yang telah kita hitung:
\[ f'(x) = (6x + 2) \cdot \ln(x^2 + 1) + (3x^2 + 2x) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} \]
Langkah 6: Sederhanakan Ekspresi
Mari kita sederhanakan bagian kedua dari ekspresi di atas:
\[ (3x^2 + 2x) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{(3x^2 + 2x) \cdot 2x}{x^2 + 1} \]
\[ = \frac{6x^3 + 4x^2}{x^2 + 1} \]
Sekarang substitusi kembali ke dalam turunan \( f'(x) \):
\[ f'(x) = (6x + 2) \cdot \ln(x^2 + 1) + \frac{6x^3 + 4x^2}{x^2 + 1} \]
Langkah 7: Evaluasi dan Verifikasi
Untuk memastikan jawaban benar, kita dapat memverifikasi setiap langkah dan pastikan tidak ada kesalahan aljabar. Periksa kembali setiap langkah untuk memastikan setiap turunan dan substitusi dilakukan dengan benar.
Langkah 8: Interpretasi Turunan
Turunan ini, \( f'(x) \), memberikan tingkat perubahan fungsi \( f(x) \) seiring dengan perubahan nilai \( x \). Dalam konteks aplikasi, ini bisa digunakan untuk menganalisis laju pertumbuhan atau penurunan fungsi gabungan tersebut.
Langkah 9: Contoh Penerapan
Jika kita ingin menganalisis perilaku fungsi ini pada titik tertentu, misalnya \( x = 1 \), kita dapat substitusi nilai ke dalam turunan:
\[ f'(1) = (6(1) + 2) \cdot \ln(1^2 + 1) + \frac{6(1)^3 + 4(1)^2}{1^2 + 1} \]
\[ f'(1) = 8 \cdot \ln(2) + \frac{6 + 4}{2} \]
\[ f'(1) = 8 \cdot \ln(2) + 5 \]
Kesimpulan
Dengan langkah-langkah di atas, kita telah berhasil menerapkan aturan rantai dan aturan hasil kali untuk menemukan turunan dari fungsi \( f(x) = (3x^2 + 2x) \cdot \ln(x^2 + 1) \). Proses ini melibatkan pemahaman mendalam tentang cara kerja diferensiasi pada fungsi gabungan dan penerapan aturan kalkulus dengan tepat.
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===
