Soal:
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan rasional yang memenuhi persamaan berikut:
1. a + b + c = 7
2. a2 + b2 + c2 = 25
3. a3 + b3 + c3 = 55
Temukan nilai dari a, b, dan c.
Jawaban:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan identitas matematika dan sifat-sifat dari bilangan rasional. Langkah pertama adalah memahami bahwa persamaan ini sejalan dengan identitas Newton untuk sum of powers. Mari kita selesaikan langkah demi langkah:
Langkah 1: Gunakan identitas dasar
Dari identitas dasar yaitu (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca), kita dapat substitusi nilai yang diketahui:
(7)2 = 25 + 2(ab + bc + ca).
49 = 25 + 2(ab + bc + ca).
24 = 2(ab + bc + ca).
Sehingga kita dapatkan ab + bc + ca = 12.
Langkah 2: Gunakan identitas untuk sum of cubes
Dengan identitas sum of cubes: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca), substitusi nilai:
55 – 3abc = 7(25 – 12).
55 – 3abc = 7(13).
55 – 3abc = 91.
-36 = 3abc.
Sehingga diperoleh abc = -12.
Langkah 3: Cari akar-akar dari polinomial
Kita sekarang memiliki persamaan simetri yang dapat ditulis sebagai polinomial:
x3 – 7x2 + 12x + 12 = 0.
Gunakan metode coba-coba dengan faktor-faktor dari -12 untuk mencari akar rasional. Setelah beberapa percobaan, kita temukan bahwa x = 1 adalah solusi.
Langkah 4: Faktorisasi polinomial
Setelah menemukan bahwa x = 1 adalah akar, kita dapat mendivisikan polinomial oleh (x – 1), dan kita dapatkan:
(x – 1)(x2 – 6x – 12) = 0.
Langkah 5: Temukan akar-akar dari polinomial kuadrat
Untuk menyelesaikan x2 – 6x – 12 = 0, kita gunakan rumus kuadrat:
x = [6 ± √(36 + 48)]/2.
x = [6 ± √84]/2.
x = [6 ± 2√21]/2.
x = 3 ± √21.
Langkah 6: Solusi akhir
Jadi, solusi untuk nilai a, b, dan c adalah a = 1, b = 3 + √21, dan c = 3 – √21. Karena kita mencari solusi dalam bilangan rasional, kita hanya mempertimbangkan nilai a = 1. Namun, dalam konteks soal ini, kita akan tetap menyajikan semua solusi untuk kelengkapan penyelesaian.
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===