Soal Matematika: Pola Bilangan dan Deret
Diberikan sebuah deret bilangan: 2, 4, 7, 11, 16, …, n. Tentukan suku ke-20 dari deret tersebut dan rumus umum suku ke-n dari deret tersebut.
Pendahuluan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami cara menemukan pola dalam sebuah deret dan kemudian menuliskan rumus suku ke-n. Deret yang diberikan tampaknya memiliki pola tertentu yang perlu kita identifikasi terlebih dahulu. Setelah pola tersebut ditemukan, kita dapat mencari suku ke-20 dan rumus umumnya.
Langkah Pertama: Identifikasi Pola
Mari kita lihat selisih antar suku berturut-turut dalam deret yang diberikan:
– Suku kedua (4) – suku pertama (2) = 2
– Suku ketiga (7) – suku kedua (4) = 3
– Suku keempat (11) – suku ketiga (7) = 4
– Suku kelima (16) – suku keempat (11) = 5
Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa selisih antar suku berturut-turut adalah bertambah 1 setiap kali. Dengan kata lain, selisih antar suku membentuk deret aritmetika dengan beda 1.
Langkah Kedua: Menentukan Pola Umum
Selisih yang bertambah 1 setiap kali ini mengindikasikan bahwa deret yang diberikan adalah deret dengan pola kuadratik. Kita dapat menyusun rumus suku ke-n dengan cara mencoba menemukan hubungan kuadratik antara suku ke-n (an) dan n.
Misalkan suku ke-n dari deret adalah an = An² + Bn + C.
Langkah Ketiga: Menyusun Persamaan
Gunakan suku-suku yang diketahui untuk menyusun sistem persamaan:
1. a1 = A(1)² + B(1) + C = 2
2. a2 = A(2)² + B(2) + C = 4
3. a3 = A(3)² + B(3) + C = 7
Dari persamaan ini, kita dapatkan:
1. A + B + C = 2
2. 4A + 2B + C = 4
3. 9A + 3B + C = 7
Langkah Keempat: Menyelesaikan Sistem Persamaan
Mari kita selesaikan sistem persamaan ini. Pertama, eliminasi C dari persamaan 2 dan 3:
– Dari persamaan 1: C = 2 – A – B
– Substitusi C ke persamaan 2: 4A + 2B + (2 – A – B) = 4
– 3A + B = 2 …(i)
– Substitusi C ke persamaan 3: 9A + 3B + (2 – A – B) = 7
– 8A + 2B = 5 …(ii)
Sekarang eliminasi B dari persamaan (i) dan (ii):
– Dari persamaan (i): B = 2 – 3A
– Substitusi B ke persamaan (ii): 8A + 2(2 – 3A) = 5
– 8A + 4 – 6A = 5
– 2A = 1
– A = 0.5
Langkah Kelima: Menemukan Nilai B dan C
Dengan mengetahui A = 0.5, substitusi ke B = 2 – 3A:
– B = 2 – 3(0.5)
– B = 2 – 1.5
– B = 0.5
Kemudian substitusi A dan B ke dalam C = 2 – A – B:
– C = 2 – 0.5 – 0.5
– C = 1
Langkah Keenam: Rumus Umum
Dengan nilai A, B, dan C yang telah ditemukan, rumus umum untuk suku ke-n adalah:
an = 0.5n² + 0.5n + 1
Langkah Ketujuh: Menentukan Suku ke-20
Untuk menemukan suku ke-20, substitusi n = 20 ke dalam rumus:
a20 = 0.5(20)² + 0.5(20) + 1
= 0.5(400) + 10 + 1
= 200 + 10 + 1
= 211
Kesimpulan
Suku ke-20 dari deret yang diberikan adalah 211. Rumus umum untuk suku ke-n dari deret tersebut adalah an = 0.5n² + 0.5n + 1. Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita dapat menganalisis deret yang lebih kompleks dan menemukan pola serta rumusnya, yang dapat diaplikasikan untuk mencari suku tertentu dalam deret tersebut.
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===