Soal Matematika
Diberikan bahwa sin(θ) = 3/5 dan θ berada pada kuadran I. Hitunglah nilai cos(2θ) menggunakan identitas trigonometri.
Langkah-Langkah Penyelesaian
Langkah 1: Memahami Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri yang akan kita gunakan dalam soal ini adalah identitas sudut ganda untuk cos(2θ), yaitu:
cos(2θ) = cos²(θ) – sin²(θ).
Selain itu, kita juga bisa menggunakan identitas lain yang setara, yaitu:
cos(2θ) = 2cos²(θ) – 1 atau cos(2θ) = 1 – 2sin²(θ).
Langkah 2: Menentukan cos(θ)
Kita tahu bahwa sin(θ) = 3/5. Untuk mencari cos(θ), kita dapat menggunakan identitas dasar trigonometri yaitu:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
Substitusikan nilai sin(θ) ke dalam identitas tersebut:
(3/5)² + cos²(θ) = 1.
Hitung nilai sin²(θ):
9/25 + cos²(θ) = 1.
Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan untuk cos(θ)
Selanjutnya, kita selesaikan persamaan untuk mencari cos²(θ):
cos²(θ) = 1 – 9/25.
Hitung nilai sisa dari persamaan:
cos²(θ) = (25/25) – (9/25) = 16/25.
Karena θ berada pada kuadran I, maka nilai cos(θ) adalah positif, sehingga kita ambil akar positif:
cos(θ) = √(16/25) = 4/5.
Langkah 4: Menggunakan Identitas Sudut Ganda
Sekarang kita memiliki nilai sin(θ) dan cos(θ). Kita akan menggunakan salah satu identitas sudut ganda yang telah kita bahas di langkah pertama.
Gunakan identitas cos(2θ) = cos²(θ) – sin²(θ):
cos(2θ) = (4/5)² – (3/5)².
Langkah 5: Melakukan Perhitungan
Hitung masing-masing bagian dari persamaan:
cos(2θ) = 16/25 – 9/25.
Kurangkan kedua pecahan:
cos(2θ) = (16 – 9)/25 = 7/25.
Langkah 6: Menyimpulkan Jawaban
Berdasarkan perhitungan dan penggunaan identitas trigonometri, kita telah menemukan bahwa nilai cos(2θ) adalah 7/25.
Dengan demikian, jawaban dari soal yang diberikan adalah cos(2θ) = 7/25. Proses ini menunjukkan bagaimana kita dapat menggunakan identitas trigonometri dasar untuk memecahkan masalah yang melibatkan sudut ganda.
Langkah 7: Memeriksa Jawaban
Sebagai langkah tambahan, kita dapat memeriksa jawaban dengan metode lain, misalnya menggunakan identitas cos(2θ) = 2cos²(θ) – 1 dan memverifikasi bahwa hasilnya konsisten.
Substitusi nilai cos(θ):
cos(2θ) = 2(4/5)² – 1.
Lakukan perhitungan:
cos(2θ) = 2(16/25) – 1 = 32/25 – 25/25 = 7/25.
Hasilnya sama, menunjukkan bahwa jawaban kita benar. Ini menunjukkan pentingnya memverifikasi jawaban untuk memastikan keakuratan.
Langkah 8: Refleksi Proses
Proses ini menekankan pentingnya pemahaman identitas trigonometri dan bagaimana menggunakannya dalam konteks yang lebih kompleks. Dengan memahami langkah-langkah ini, kita bisa lebih siap menghadapi berbagai bentuk soal trigonometri.
Ini juga mengajarkan kita tentang fleksibilitas dalam menggunakan berbagai identitas untuk mencapai solusi yang sama, meningkatkan pemahaman mendalam tentang materi trigonometri.
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===
