Soal Matematika: Diferensiasi Tingkat Sulit
Diberikan fungsi berikut:
\[ f(x) = \frac{x^3 – 3x + 2}{x^2 – x} \]
Tentukan turunan pertama dari fungsi \( f(x) \) menggunakan aturan diferensiasi yang tepat. Pastikan untuk menunjukkan setiap langkah dalam proses diferensiasi.
Penyelesaian: Memahami Masalah
Langkah pertama dalam menyelesaikan masalah ini adalah memahami bahwa kita berhadapan dengan fungsi rasional, yaitu fungsi dalam bentuk \(\frac{u(x)}{v(x)}\), di mana \(u(x) = x^3 – 3x + 2\) dan \(v(x) = x^2 – x\). Untuk menemukan turunan dari fungsi ini, kita akan menggunakan aturan turunan untuk fungsi pembagian, yang dikenal sebagai aturan quotient.
Langkah 1: Penerapan Aturan Quotient
Aturan quotient menyatakan bahwa jika \(h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\), maka turunan \(h'(x)\) diberikan oleh:
\[
h'(x) = \frac{v(x)u'(x) – u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
Di sini, kita harus mencari turunan dari \(u(x)\) dan \(v(x)\) secara terpisah sebagai langkah awal.
Langkah 2: Menemukan Turunan dari \(u(x)\)
Fungsi \(u(x) = x^3 – 3x + 2\) adalah fungsi polinomial, dan kita dapat menemukan turunannya dengan menerapkan aturan turunan dasar untuk setiap suku:
– Turunan dari \(x^3\) adalah \(3x^2\).
– Turunan dari \(-3x\) adalah \(-3\).
– Turunan dari konstanta \(2\) adalah \(0\).
Jadi, turunan dari \(u(x)\) adalah:
\[ u'(x) = 3x^2 – 3 \]
Langkah 3: Menemukan Turunan dari \(v(x)\)
Fungsi \(v(x) = x^2 – x\) juga merupakan fungsi polinomial, dan kita dapat menemukan turunannya dengan cara yang sama:
– Turunan dari \(x^2\) adalah \(2x\).
– Turunan dari \(-x\) adalah \(-1\).
Jadi, turunan dari \(v(x)\) adalah:
\[ v'(x) = 2x – 1 \]
Langkah 4: Menerapkan Aturan Quotient
Sekarang, kita substitusikan \(u'(x)\), \(v'(x)\), \(u(x)\), dan \(v(x)\) ke dalam formula aturan quotient:
\[
f'(x) = \frac{(x^2 – x)(3x^2 – 3) – (x^3 – 3x + 2)(2x – 1)}{(x^2 – x)^2}
\]
Langkah 5: Menyederhanakan Pembilang
Kita perlu menyederhanakan pembilang dari turunan tersebut. Mari kita hitung setiap bagian terpisah:
Bagian pertama: \((x^2 – x)(3x^2 – 3)\)
\[
= (x^2)(3x^2) – (x^2)(3) – (x)(3x^2) + (x)(3)
= 3x^4 – 3x^2 – 3x^3 + 3x
\]
Bagian kedua: \((x^3 – 3x + 2)(2x – 1)\)
\[
= (x^3)(2x) – (x^3)(1) – (3x)(2x) + (3x)(1) + (2)(2x) – (2)(1)
= 2x^4 – x^3 – 6x^2 + 3x + 4x – 2
= 2x^4 – x^3 – 6x^2 + 7x – 2
\]
Langkah 6: Pengurangan Pembilang
Sederhanakan pembilang dengan mengurangi bagian pertama dengan bagian kedua:
\[
(3x^4 – 3x^2 – 3x^3 + 3x) – (2x^4 – x^3 – 6x^2 + 7x – 2)
\]
\[
= 3x^4 – 3x^2 – 3x^3 + 3x – 2x^4 + x^3 + 6x^2 – 7x + 2
\]
\[
= x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 4x + 2
\]
Langkah 7: Menyederhanakan Seluruh Ekspresi
Akhirnya, kita substitusikan kembali ke persamaan turunan quotient yang kita miliki:
\[
f'(x) = \frac{x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 4x + 2}{(x^2 – x)^2}
\]
Langkah 8: Memahami Hasil Akhir
Hasil di atas adalah turunan pertama dari fungsi yang diberikan. Turunan ini memberikan laju perubahan dari fungsi \(f(x)\) pada setiap titik \(x\). Proses ini melibatkan penerapan aturan quotient, serta diferensiasi dasar dari polinomial yang menjadi komponen utama dalam pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut.
Langkah 9: Verifikasi dan Refleksi
Sebelum menyimpulkan hasil, penting untuk memeriksa kembali setiap langkah untuk memastikan tidak ada kesalahan dalam kalkulasi atau penerapan aturan turunan. Verifikasi ini penting, terutama pada langkah-langkah pengurangan dan penyederhanaan yang kompleks.
Langkah 10: Kesimpulan
Dengan demikian, kita telah berhasil menemukan turunan dari fungsi rasional yang diberikan menggunakan aturan quotient dan diferensiasi polinomial. Proses ini menunjukkan pentingnya pemahaman yang mendalam tentang aturan diferensiasi dasar dan kemampuan untuk mengolah aljabar dalam menyederhanakan ekspresi matematika yang kompleks. Turunan ini dapat digunakan dalam analisis lebih lanjut, seperti menentukan titik-titik kritis atau memahami perilaku grafik fungsi tersebut.
PERHATIAN (DISCLAIMER!) Konten dalam artikel ini, sebagian besar atau bahkan seluruhnya dikerjakan oleh Assisten AI atau script yang menggunakan teknologi kecerdasan buatan.
===Anda harus mencari referensi lain, untuk membandingkan hasilnya.===